来自 教育 2019-02-25 05:06 的文章
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物理学咬文嚼字之八十三:简单杂

  不知何时起,笔者经常能读到关于物理学之简单性(simplicity of physics)的论说。对于对物理学始终不明所以的笔者来说,这简单性一说直如五里雾,让人一时摸不着头脑。简单,单指组成单元只有一个,简的意思是少、少易,这和德语的einfach (一重)完全一致。英文的简单是simple, 来自古法语,sim-(one) + plo (fold) 字面上也是“一重”的意思。Einfach (一重)的反义词是mehrfach ( 多重), simple (one-fold)的反义词是manifold。罗素那样懂哲学拿文学诺奖的数学家兼物理学家拥有manifold wisdom(多重智慧),一个黑白红道通吃的精英人们私下里会夸奖他们是manifold villain (多面流氓)。有趣的是,名词manifold 现在在数学上变成了一个重要概念,对应德语的die Mannigfaltigkeit 一词。该词由黎曼于1854 年引入,那时他指的是嵌入在Rn-空间中的n-重展开的(n-fach ausdehnt)几何对象。汉译“流形”不知是否出自译者的创意。

  世界可以是简单的,但我们对世界的理解可不能满足于简单。头脑简单的人(simpleton) 是会遭人嘲笑的。伽利略在他的《关于两种主要世界体系的对话》一书中,给那个为地心说辩护的角色起的名字就是Simplicio。Simplicio, 那就是simpleton,意大利人哪里会看不出来,所以梵蒂冈的大佬就觉得受到了奚落。伽利略被勒令检讨,而后被软禁在家,这同布鲁诺的遭遇相比,算是捡了个大便宜。国人有嘲弄年轻人too young too simple 的,遂有今日随处可见的准成语“图样图森破”。数学家用simple,semisimple 修饰的概念,比如李群(Lie group),一点都不简单。李群(Lie group)可能是让许多人都头疼的概念。李群可根据其代数性质分为simple,semisimple,solvable (可解的),nilpotent (零势的),和abelian(阿贝尔的)。数学家们客气地称一类李群为simple Lie group,可它竟复杂得没有被普遍接受的定义(unfortunately, there is no generally accepted definition of a simple Lie group)!目前,一般认为连通的、非阿贝尔的,其每一个闭合连通的正规子群要么是单位元(不变操作)要么就是群本身的那么一类李群,是simple 的。至于semisimple Lie group, semisimple 就说明它不是那么simple。Semisimple Lie group 是其李代数为简单李代数之积的那些李群。

  物理学家津津乐道的简单性原理(the principle of simplicity),也同样不易理解?狄拉克1939 年曾有关于数学与物理的关系的文章,论及简单性和复杂性。数学应用于物理,要求用来表述运动定律的方程形式简单(数学家会不会认为这是因为物理学家数学懂得少的缘故?)。简单形式的方程在经典力学中看似很成功, 这为物理学家提供了a principle of simplicity。这简单性是运动定律的简单性,可不是物理现象的简单性。牛顿的引力理论后来为爱因斯坦的广义相对论所取代。从高级数学的角度来看,爱因斯坦的引力理论比牛顿的要简单,但这要赋予简单性特别的、微妙的意义。相对论的数学对大多数人来说还是蛮复杂的,但我们还是需要它,狄拉克把这归结于其拥有great mathematical beauty:在狭义相对论时空连续统的变换群从伽利略群变成了洛伦兹群,而后者相对于前者是美的。据说广义相对论比起狭义相对论,美的增加有限。简单性原则为数学美的原则所取代,这两者有时是一致的。所谓的数学美,狄拉克似乎是愿意将之归结为变换的美,虽然变换的美也不好定义。不过,数学的美也罢,简单性也罢,可能不过是那么一说而已。狄拉克方程(iγ ⋅ ∂ -m)ψ = 0 看起来可简单了,但人们说它是deceitfully simple或者deceptively simple (欺骗性地简单)。玻尔兹曼的熵公式S = k logW 也简单,但懂行的会说it is disarmingly simple ( 致人麻痹大意地简单) 。这些其实都是委婉的说法, 对于不愿深究的人来说,一切都是简单的。正所谓浅者见浅,深者见深。

  Simple, simplex, 字面上是one-plo (一重的)。依此类推,two-plo的是double,duplex,three-plo 的是triple,triplex。单饼是simplex 的,千层饼,应该是milleplex 的(图1),而“刘郎已恨蓬山远,更隔蓬山一万重”2) 中的一万重,那应该是decamilleplex 了。Googolplex 的意思是10100-重的。Googol 就是大数10100,10 自乘100 次,其正确的汉译就应该是“百度(100 次)”。有钱的文盲签支票时把googol 写成了google,于是如今就有了google 这个词。谷歌这个莫名其妙的汉译怎么端详也没有动词的意思,所以人们还是说“google 一下”。中文的“百度”,据说是来自“众里寻他千百度”,如此说反倒失去了和googol天然的亲戚关系。如果只是把一些单元组合到一起(compound),而不明指多少重,那就是compounded或者complex的。

  Complex number,或者说binarion,的两部分是按照一个代数规则粘接到一起的,它就和表示欧几里得平面的坐标组合(x,y) 有些区别。最简单的,z=x+iy 代表的复平面和欧几里得平面R2 就不完全是一回事儿。复平面域上的复变函数f (z)=u(x, y) + iv(x, y), 其解析性的Cauchy—Riemann 条件为∂u/∂x =∂v/∂y , ∂u/∂y = -∂v/∂x ,从这里应该看到复数乘法规则的身影。量子力学的波函数, 是复函数,但不是复变函数。有人说“to turn it into the ‘real’ world, the norm of the complex number is to be used (为了把波函数带入真实世界,就用上了复数求模)”,有点太单纯(simpleminded)了。复数的各个部分本来就是real 的,就波函数而言,求模也不足以把它带入真实的物理世界——波函数的诠释还一直是一些物理学家在忙着的活计。

  与complex group, symplectic group,有关联的一个概念是quaplectic group,这是一个和玻恩的互反原理相联系的概念,字面上的意思是四绺辫子群7)。玻恩的互反原理要求物理定律在变换{t,e,q,p}→{t,e, p, - q} 或者{t, e, q,p}→{-e,t,q,p}下是不变的。这要求一个由三维坐标、一维时间,加三维动量和一维能量的八维空间。同单粒子的扩展相空间(七维)相比,这里多了一个能量维。玻恩猜想存在关于这个八维空间之线元的不变性,不变变换构成的群就是quaplectic group。这可同四维时空中线元的变换不变性所对应的洛伦兹群作类比。不过,玻恩的这个方案似乎不成功。

  中学时学辩证法,实在不知道所谓的矛盾双方的辩证关系在说什么。参详近年来在物理学文献中读到的关于simplicity 和complexity 的论述,恍惚对辩证关系有了点了解。复杂性指其组成部分通过多种方式相互作用(interacting in multiple way),遵从局域规则,因为没有合适的高层次的指令定义其中各种可能的相互作用。用大白实话说,就是人们还没能力,或者还没找到正确的、关于整体的描述方式。而简单性, simplicity, referring to simplex,or as a whole,这说明简单性需从整体层面上去寻求。举例来说,宝塔菜,如果一点数学不用而只盯着菜头看,它是complex 的;如果明白其具有自相似结构(self-similarity),且同一尺度上菜瓣儿的排列方式是斐波纳契斜列螺旋花样(Fibonacci parastichous spirals),这样的理解需要两个看似不相干的概念,就是duplex的;如果有一天我们能将Fibonacci parastichous spirals 和self-similarity从数学上统一了,那宝塔菜的花样就是simple 的了(图2)。不过,完美的理想的数学单纯地描述的,都不是线 宝塔菜,romanesco broccoli,乍一看是complex的,懂了自相似和斐波纳契它是duplex 的。希望有一天它能看起来是个simplex,是simple的

  物理若能上升为规则、定律就是简单的,但它面对的自然现象是复杂的。这复杂性的源头在体系之内,把宇宙的无限复杂性归咎于初始条件的无限复杂性,这样就将之移出了数学物理讨论的范围,这种作法无助于对宇宙复杂性的认识。物理学是美学简单性和功能复杂性,其在简单性和复杂性之间取得微妙的平衡。复杂性并不必然把物理引向死胡同,恰恰是问题的复杂性才使得其解有简单的途径(But it is precisely the complexity of the problem that allows a simple approach to its solution) 。这正是对多粒子体系有统计物理的写照。我们若是弄懂了物理,它就简单了(Physics must be simple once we understand it all)。物理学家面对自己的研究对象时,常常念叨着简单性原则而对复杂的现象一筹莫展,这么多年的超导理论研究大约就是这种局面。没办法,物理学确实太难了。不过,有一类人如外尔,就是“能把简单的事情弄复杂了、把所有复杂的事情弄简单了的人(the man who makes all simple things complicated and all complicated things simple)”,据说把复杂事情看简单了是更具有决定性意义的,这可是真本领!要做到这一点,则要能象外尔一样,总是从根部看问题(always takes up the problem at its root)。谁不想拥有这种本领呢,只是作为这种本领之根基的数学一般物理学家是不具备的,而具有这些数学的数学家如今也是凤毛麟角,何况他们还远离物理的世界呢。

  6) 我愿不厌其烦地提及伟大的外尔(Hermann Weyl),是因为注意到外尔的名气不如爱因斯坦的名气大可能是因为他的学问比爱因斯坦高很多、也难理解得多的原因。和爱因斯坦一样,外尔是另一个对相对论和量子力学都有重要贡献的人。当然,外尔对科学的贡献不局限于相对论和量子力学这样不需要多少数学的simple 问题,他还是顶级的数学家。他的文章一般人看不懂,他的名气不够大,他本人要负全部责任。

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